Van Swieten werd geboren als zoon van Thomas van Swieten, notaris in de Breestraat te Leiden, en Elisabeth van Loo. Zijn moeder overleed reeds toen Van Swieten nog een kleine jongen was; zijn vader ontviel Van Swieten in 1712. De voogd die aan hem werd toegewezen liet hem berooid achter. Met het kleine deel van de erfenis van zijn ouders dat Van Swieten verkreeg, trok hij op zestienjarige leeftijd naar Leuven om filosofie en staatswetenschappen te studeren. Twee jaar later, in 1718, keerde hij terug naar zijn geboortestad om daar aan de Universiteit van Leiden chemie, farmacie en geneeskunde te gaan studeren. De beroemde Leidse arts Herman Boerhaave werd Van Swietens leermeester, en Van Swieten werd op zijn beurt een van Boerhaaves meest geliefde leerlingen. Zijn studie farmacie voltooide van Swieten in 1720. In 1725 promoveerde Van Swieten op een proefschrift over de bouw en functie van arteriën en hij vestigde zich als arts te Leiden. Daarnaast gaf hij privécolleges en verving hij Boerhaave op de universiteit bij diens afwezigheid.